0.   引　言

高速边界层从层流转捩为湍流可能导致飞行器表面热流和摩阻急剧上升^[1]，制约有效载荷和航程，严重时可能威胁飞行器的安全，例如飞行器表面发生非对称转捩可能会使气动力距不平衡，从而影响飞行稳定性^[2]。早期对高速边界层转捩的研究主要集中在平板、零攻角锥等二维边界层上^[3]，其典型特征是流场只有法向一个快变方向。研究人员常采用一维线性稳定性理论（linear stability theory, LST）求解此类流场的不稳定模态，并取得了与试验吻合较好的结果。然而真实飞行器往往是三维外形，近年来针对高速三维边界层转捩的研究明显增多^[4-7]。流向涡作为典型的三维流动结构，常存在于有攻角锥背风区^[8-9]、椭圆锥短轴^[10-11]、BOLT（Boundary Layer Transition）^[12-13]以及升力体^[14]上。因此，对高速流向涡稳定性及转捩的研究对于飞行器的优化设计具有重要意义。

不同于传统的二维边界层，流向涡结构在展向及法向上均是快变的，此时LST不再适用，需要采用全局稳定性分析方法。二维全局稳定性分析方法（BiGlobal）^[15]最早由Pierrehumbert等^[16]提出，而实际应用于流向涡稳定性特征求解中则经历了较长时间的探索与发展。Lyttle等^[17]早在1995年就注意到了椭圆锥短轴处的基本流剖面与其他区域存在显著差异，并指出该剖面可能是高度不稳定的。随后，Kimmel等^[18]和 Poggie等^[19]分别采用LST和试验对椭圆锥短轴区域进行了分析，结果对比并不理想。直到2009年，Choudhari等^[11]开始采用BiGlobal方法对HIFiRE-5椭圆锥短轴流向涡处进行了初步分析，获得了与以往研究不同的稳定性特征。基于同样的模型，Paredes等^{[10, 20-21]}主要针对两个飞行状态（飞行高度分别为21.8、33 km、马赫数分别为7.45、7）对流向涡开展了更为系统的理论分析。他们的BiGlobal分析结果表明，流向涡处存在不稳定的剪切模态，形函数峰值主要分布在蘑菇状结构（零攻角无侧滑时椭圆锥短轴处为对称的蘑菇状流向涡结构）的顶部和肩部。根据形函数关于中心线的对称性，可以将其分为对称和反对称模态两类，二者的增长率和相速度接近。Choudhari等^[22]采用BiGlobal方法研究了马赫数为7.8、单位雷诺数9.0$\times$10⁶/ m的椭圆锥短轴流向涡稳定性，发现了位于流向涡茎部的模态，相比于流向涡顶部及肩部的模态更不稳定。李晓虎等^[23]研究了风洞试验工况下的椭圆锥流向涡稳定性，按照速度剪切主导项$\partial u/\partial y$或$\partial u/\partial z$进一步将不稳定模态分为y模态和z模态。Zhao等^[5]采用无矩阵BiGlobal方法对不同长短轴比的高速椭圆锥流向涡稳定性进行了研究，并积分获得了最大N值包络线，结果表明，大的长短轴比会导致不稳定性更强、转捩发生得更早。对于有攻角锥，头部钝度及攻角往往对流向涡的形态及稳定性特征具有显著的影响。Chen等^[8]和Li等^[9]分别基于时均场和层流场对风洞试验工况下攻角6°、钝度1 mm的圆锥背风流向涡的稳定性进行了分析，他们得出的结论类似，发现该攻角下的流向涡失稳模态与椭圆锥短轴流向涡具有相似的性质，对称模态与反对称模态均存在，模态形函数主要分布于流向涡的茎部及肩部，而位于流向涡茎部的模态最不稳定，与Choudhari等^[22]的研究发现一致。随后，Li等^[24]将光滑粗糙元布置于上游流向涡的中心线处，结果表明流向涡茎部模态一定程度上能够被抑制，而适当偏离中心线布置^[25]，能够增强对不稳定模态的整体抑制效果。Paredes等^[6]采用面推进抛物化稳定性方程（PSE3D）研究了风洞试验工况下攻角为1°～5°、钝度为9.525 mm的圆锥流向涡的稳定性，发现小攻角时背风区的稳定性由Mack模态主导，增大攻角后，上游的Mack模态可能转化为流向涡剪切模态。Zhang等^[26]研究了飞行工况下攻角7°、钝度5 mm圆锥流向涡的失稳特性，发现流向涡的结构与风洞试验工况下完全不同，一对超大的内卷涡占据了流向涡的主要空间。此时内模态具有更大的增长率和更宽的频率失稳范围，但失稳区间主要在流向涡下游，而上游Mack模态可在下游转化为剪切模态，并可能诱发流向涡转捩。

除了上述椭圆锥及有攻角锥外，流向涡还存在于升力体标准模型上。升力体标准模型是由中国空气动力研究与发展中心（China Aerodynamics Research and Development Center, CARDC）牵头设计的高速转捩研究飞行器（hypersonic transition research vehicle, HyTRV），具有复杂的三维外形^[14]。下表面由椭圆形控制，上表面主要由类-形变换（class-shape transformation, CST）曲线控制。受外形的影响，升力体表面主要存在两类流向涡：位于下表面中心线附近的对称流向涡和位于上表面CST曲线向内凹区域的腰部非对称流向涡。下表面的流向涡与传统的椭圆锥流向涡性质接近，而腰部流向涡的非对称性可能使得其不稳定性不同于传统流向涡。陈曦等^[27]对风洞试验工况下马赫数6、攻角${2}^{\circ }$的升力体标模开展了多维稳定性分析及直接数值模拟（direct numerical simulation, DNS），结果表明升力体表面多个流动区域存在不稳定性，具有复杂的转捩现象，其中腰部流向涡区域存在低频的内模态与高频的外模态，且该区域的转捩主要由外模态主导。Qi等^[28]采用DNS方法研究了风洞试验工况下马赫数6、攻角${0}^{\circ }$的升力体转捩过程，发现转捩主要发生在下表面中心线及上表面向内凹等流线汇聚的区域。Men等^[29]也采用DNS方法进一步研究了攻角0°～7°的升力体转捩过程，发现随着攻角增大，下表面转捩阵面逐渐延后，上表面转捩阵面逐渐提前，腰部流向涡的位置随攻角的变化而改变。CARDC基于升力体标模开展了风洞试验^[30]及飞行试验^[7]，通过风洞试验研究了攻角0°下雷诺数及马赫数对升力体边界层转捩的影响，发现雷诺数增大对转捩有促进效应，而马赫数增大具有一定的抑制效应。在研究的工况范围内，上表面转捩N值约为2.5，下表面转捩N值约为6，马赫数及雷诺数的变化对转捩N值的影响不大。飞行试验最高高度达到54.6 km，最大马赫数达6.4，传感器测量的结果显示流向区域的转捩阵面靠前。

综上所述，尽管目前对高速流向涡的稳定性特征进行了诸多研究，但大多集中在对称流向涡，严格对称的流向涡存在于理想情况下，实际飞行器难以保证完全无侧滑角，因此研究非对称流向涡的稳定性对揭示复杂三维边界层的转捩机理具有重要意义。本文采用BiGlobal方法对风洞试验工况下的升力体腰部非对称流向涡的稳定性开展研究，这对认识非对称三维流场结构的失稳机制具有重要意义。

1.   模型与数值计算方法

1.1   升力体标模

HyTRV为全数学解析的外形，如图1所示。头部为1∶2∶1的椭球形，长轴为80 mm。上表面由CST函数与椭圆函数共同控制，下表面逐渐变得光滑，直至过渡到长短轴比4∶1的椭圆形。头部与身部连接处曲率光滑，模型总长度为1600 mm，尾部宽度为600 mm。详细的设计参数可见文献[31]。本文主要使用两套坐标系，直角坐标系原点设置在头部短轴处最前沿点，x轴为模型轴向，y轴在模型对称面内，z轴按照右手定则确定。BiGlobal方法计算时采用贴体坐标系，其坐标轴方向跟随当地流向涡流动方向变化，ξ为流向，η为壁面法向，ζ为周向，3个方向相互正交。来流参数为风洞试验工况参数，马赫数为6，来流单位雷诺数$1\times {10}^{7}{/\mathrm{m}}^{}$，攻角为0°，来流静温为$79\;\mathrm{K}$，壁面设置为等温壁面${T}_{\mathrm{w}} = 300\; \mathrm{K}$。本文的模型长度及计算工况与Qi等^[28]研究中的DNS工况一致。

图  1  升力体标模形状

Figure  1.  Shape of the HyTRV model

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1.2   基本流计算方法

采用高阶精度有限差分方法求解无量纲守恒型纳维-斯托克斯（Navier-Stokes, N-S）方程，获得升力体的层流基本流：

其中：t是时间项，U是守恒型变量，E、F和G分别是x、y、z方向的对流通量，E_v、F_v、G_v是对应的黏性通量，各项的具体参数见文献[32]，程序已经过大量数据验证^{[9, 24-25, 33]}。无量纲的参考量为来流密度${\rho }_{\mathrm{\infty }}$、速度${u}_{\mathrm{\infty }}$、静温${T}_{\mathrm{\infty }}$，压力采用${\rho }_{\mathrm{\infty }}{u}_{\infty }^{2}$进行无量纲化。采用Steger-Wariming 格式进行矢通量分裂，对流项采用五阶WENO格式，黏性项采用六阶中心差分格式，时间项采用三阶Runge–Kutta方法。计算采用完全气体模型，黏性系数根据Sutherland公式计算。壁面为无滑移等温壁面。

由于升力体标模沿x-y 平面具有对称性，本文计算使用对称边界条件并不影响腰部的非对称流向涡计算，为节省计算资源，层流基本流只计算升力体模型的一半。采用两套网格进行网格无关性验证，基准网格为651（ξ） × 601（ζ） × 361（η），稀疏网格为561（ξ） × 401（ζ） × 301（η），两套网格均在流向涡区域周向局部加密，以确保网格可以捕捉流向涡周向变化。图2展示了两套网格下升力体腰部流向涡的网格收敛性，从图中可以看出，二者吻合得很好，模型其他区域流场也具有良好的网格收敛性。因此，后续基本流场计算基于基准网格。

图  2  不同网格下的流向涡结构对比（流向速度u = 0.05, 0.15, 0.25, …, 0.85）

Figure  2.  Comparison of streamwise vortex structure (streamwise velocity) under different grids (u = 0.05, 0.15, 0.25, …, 0.85)

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1.3   稳定性分析方法

本文采用BiGlobal方法进行稳定性分析。稳定性分析本质上是求解二维扰动方程的特征值问题，为了适应曲率变化的壁面，在贴体坐标系(ξ, η, ζ)上求解。线性化的扰动方程为：

其中：系数矩阵Γ、A、B、C、D、V_ξξ、V_ηη、V_ζζ、V_ξη、V_ξζ、V_ηζ为基本流的函数，具体形式可见文献[34]。流向涡沿流向是慢变的，扰动可设为：

其中：$\hat{\phi}$为扰动形函数；空间模式下，α是一个复数，实部为流向波数，虚部为增长率；ω为实数，代表扰动波的频率。将式（3）代入式（2）可以得到一个线性齐次方程：

采用有限差分方法将式（4）转化为一个大型稀疏矩阵的广义特征值问题，并采用Arnoldi方法求解。图3为稳定性分析的计算域和BiGlobal方法计算的x^*=1 000 mm处的特征谱。计算域边界上设置扰动为零。3套稳定性分析的网格尺寸为：Grid1，201(η) × 251(ζ)；Grid2， 151(η) × 201(ζ)；Grid3， 101(η) × 151(ζ)，均包含了腰部流向涡的主涡，Grid1和Grid2还包含了侧面小涡，如图3（a）所示。从图3（b）可以看出，Grid1和Grid2的特征谱吻合得很好。因此，本文后续的稳定性计算基于Grid2进行。

图  3  稳定性分析网格无关性验证（x^*= 1000 mm）

Figure  3.  Grid independence verification for BiGlobal stability analysis results (x^* = 1000 mm)

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2.   结果分析

2.1   基本流特征

升力体由于表面存在周向交替的高低压区，其流场结构复杂。图4为升力体表面速度云图及壁面流线图，可以看出，下表面长轴处为相对高压区，短轴处为相对低压区，流线从长轴向短轴汇聚，在腹部中心线附近形成对称的流向涡结构，此类流向涡与椭圆锥短轴流向涡具有相似的结构^[10]。上表面顶部为相对高压区，腰部向内凹的区域为相对低压区，一侧流线从顶部向腰部汇聚，另一侧流线从下表面长轴处向腰部汇聚，在腰部区域形成流向涡结构。由于两侧的压力梯度差异，导致腰部流向涡结构是非对称的，流向涡靠近下表面的一侧卷曲较强，靠近顶部一侧的卷曲较弱。图5给出了几个典型站位下的流向速度等值线以及展向和法向速度剪切云图。从图中可以看出，在x^* = 600 mm处腰部区域低速条带开始隆起，整体呈现扁平状，靠近腹部一侧的更厚；x^* = 800 mm处流向涡初步形成，在一侧开始出现较弱的卷曲；x^* = 1000 mm时流向涡两侧均出现卷曲，但靠近腹部的一侧更强，顶部仍然是扁平状；x^* = 1200 mm处流向涡已经发展成熟，两侧都出现明显的卷曲，此时流向涡的形态忽略对称性，接近风洞试验工况下的有攻角锥流向涡^[8-9]。

图  4  升力体表面速度云图及壁面极限流线

Figure  4.  Velocity contours and wall extremity streamlines of HyTRV

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图  5  x* = 600、800、1000、1200 mm典型站位的流向速度等值线（u = 0.05, 0.10, 0.15, …, 0.95）及速度剪切云图

Figure  5.  Streamwise velocity contours (u = 0.05, 0.10, 0.15, …, 0.95) and velocity shear at selected positions x* = 600, 800, 1000, 1200 mm

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流向涡本质上是被高速剪切层包裹的低速条带^[10]，速度剪切分布对流向涡的稳定性具有重要影响。从图5还可以看出，展向速度剪切在不同站位处差异显著，在x^* = 600～800 mm处展向剪切相对微弱，到x^* = 1000 mm处明显增强，与流向涡的卷曲程度强关联，展向剪切峰值主要集中在流向涡卷曲较强一侧的茎部。法向剪切呈现出与展向剪切完全不一样的特征，受边界层的影响，法向剪切在流向涡还未形成峰值前已经较大，随流向涡的发展，其峰值并未发生明显改变，但分布受到流向涡卷曲的影响：法向剪切主要分布在卷曲较强一侧的肩部及流向涡顶部，如图5（f、h）所示。由上述分析可知，忽略边界层带来的影响，展向及法向剪切主要分布在流向涡卷曲较强一侧的茎部、肩部及流向涡的顶部，说明这些区域更有可能出现不稳定模态。

2.2   稳定性特征

采用BiGlobal方法求解Grid 2计算域的特征值问题，可以得到腰部流向涡的不稳定模态。图6给出了几个典型站位下不稳定模态的增长率及相速度随频率的变化。从图中可以看出，上游x^* = 600 mm处主要存在两种性质的不稳定模态：一类的失稳频率较低，为0～20 kHz，相速度随频率的增大而增大；另一类的失稳频率较高，为50～70 kHz，相速度随频率的增大而减小。x^* = 800 mm处，这两类模态仍然存在，低频模态失稳频率范围增大，高频模态失稳范围整体减小。高频模态在上游增长率显著大于低频模态，占据主导地位。图7（a、b)给出了高频模态温度扰动形函数的三维重构，可以看出模态存在双峰结构，一部分峰值存在于壁面附近，一部分峰值存在于临界层附近，结合失稳频率范围及相速度的变化判断该模态是典型的Mack模态。按照增长率的大小将Mack模态命名为M1和M2，可以看出M2模态的形函数具有更大的展向波数，属于高阶的Mack模态。陈曦等^[35]在小攻角圆锥流向涡区域也发现了高阶的Mack模态，增长率较主Mack模态低。

图  6  x^* = 600、800、1000、1200 mm典型站位的模态增长率和模态相速度随频率变化特征

Figure  6.  The main unstable modes growth rates and the phase velocities at selected positions x^* = 600, 800, 1000, 1200 mm

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图  7  不稳定模态（M1，M2，IN1，IN2）的三维重构（u = 0.05, 0.15, 0.25, …, 0.85）

Figure  7.  3D reconstruction of unstable modes M1, M2, IN1, IN2 (u = 0.05, 0.15, 0.25, …, 0.85)

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在x^* = 1000～1200 mm处，流向涡区域出现多支性质不同的剪切模态，如图6（e～h）所示，相速度随频率的变化出现明显的分层，参考文献[8, 27]的研究，相速度相对高的归类为外模态（Outer modes, O），相速度相对低的归类为内模态（Inner modesm, IN）。按照出现的先后顺序及增长率的大小进行排序，O1和O2模态最早出现在x^* = 600 mm处，O3和O4模态出现在x^* = 1000 mm处，且具有更宽的失稳频率范围。内模态IN1及IN2出现在x^* = 1000 mm处，失稳频率范围整体比外模态小，相速度更低，其温度扰动形函数的三维重构如图7（c、d）所示，可见形函数主要分布在流向涡卷曲较强一侧的茎部，IN1模态具有更小的流向波长。外模态形函数的三维重构如图8所示，等值面为归一化温度扰动，频率为当地最不稳定频率，黑色线条为流向速度等值线。从图中可以看出O1及O2的形函数主要分布在流向涡卷曲较强一侧的肩部以及流向涡顶部，O1在顶部的分布更宽，而O3及O4主要分布在流向涡卷曲较强的肩部。通过与图5速度剪切分布的对比可以看出，分布在流向涡茎部的内模态主要受展向剪切的影响，分布在流向涡肩部及顶部的外模态主要受法向剪切的影响。

图  8  x^* = 1000 mm处的不稳定模态（O1，O2，O3，O4）的三维重构（u = 0.05, 0.15, 0.25, …, 0.85）

Figure  8.  3D reconstruction of unstable modes O1, O2, O3, O4 at x^* = 1000 mm (u = 0.05, 0.15, 0.25, …, 0.85)

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2.3   e^N方法分析

e^N方法是被广泛用来预测边界层转捩的方法，在通过BiGlobal方法获得了不稳定模态增长率随流向的变化后，通过式（5）积分可得到N值：

其中$\xi _0$为中性点的位置。从图6（a、c）可以看出M1模态总是比M2模态不稳定。M1模态在失稳频率区间[37.6 kHz, 66.1 kHz] 内的N值曲线如图9（a）所示，可以看出，Mack模态的主导频率随流向涡向下游发展逐渐降低，N值逐渐增大。在x^* = 800～1200 mm处，N值范围为2～4.7。尽管N值比较低，但在来流扰动比较大，或上游存在非模态扰动提供初始幅值时，仍然可能引起转捩。例如陈曦等^[35]基于风洞试验对圆锥流向涡区域标定N值时，发现转捩N值不到3，推测流向涡的转捩可能存在非模态的贡献。陈久芬等^[30]通过升力体常规风洞试验发现升力体上表面的转捩N值约为2.5，且不同来流雷诺数及马赫数对转捩N值的影响不大。内模态不同频率下的N值曲线如图9（b）所示，可以看出，相比于其他频率，上游频率为6.6 kHz的IN1模态的N值更高，下游模态为16.0 kHz的IN2模态的N值更高，内模态整体中性点在x^* = 800 mm以后，因此在图6（c）中并未发现内模态。尽管在x^* = 1000 mm以后内模态的N值快速增大，在x^* = 1200 mm时达到2.9，但仍然小于Mack模态的N值，难以引起转捩。

图  9  Mack模态和内模态的N值曲线

Figure  9.  N-factors curves of unstable modes: (a) Mack modes, (b) Inner modes

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外模态在多数流向涡中更不稳定^{[9, 26-27]}，是导致流向涡转捩的重要原因。图10给出了外模态不同频率下的N值曲线，可以看出，O1模态的最不稳定频率为11.7 kHz，O2模态的最不稳定频率在上游为15.1 kHz，下游为18.5 kHz；O3 模态的最不稳定频率范围为40.6～33.8 kHz，随流向涡向下游发展，最不稳定频率逐渐降低；O4模态的最不稳定频率为49.1 kHz。整体上O1和O2为不稳定频率相对较低的外模态， O3和O4为不稳定频率相对较高的外模态。在低频的外模态中，O1相比于O2更不稳定，在x^* = 800 ～ 1200 mm时，O1的N值范围为1.3 ～ 5.5。高频的外模态中，O3相比于O4更不稳定，在x^* = 800 ～1200 mm时，O3的N值范围为0.7 ～ 5.1。综上分析可知，上游的外模态N值仍然比Mack模态的N值低，但下游外模态的N值更大。

图  10  外模态O1、O2、O3、O4的N值曲线

Figure  10.  N-factors curves of unstable modes: (a) Outer modes O1 and O2, (b) Outer modes O3 and O4

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图11给出了腰部流向涡区域不稳定模态在最不稳定频率下的N值曲线（不同流向站位能达到的最大N值），可以看出上游M1模态的N值最大，下游外模态O1及O3的N值最大。x^* = 1300 mm时，频率为33.8 kHz的O3模态的N值最大，约7.0。O3模态的形函数与陈曦等^[27]研究的攻角2°升力体腰部流向涡的主导模态形函数相近，但频率偏低，可能是由于攻角的影响。值得注意的是，39.3 kHz的M1模态与相近频率的O3模态的N值增长趋势一致，表明本文工况下的Mack模态可能转化为流向涡的剪切模态。图12给出了39.3 kHz的M1模态的温度扰动形函数随流向站位的变化，可以看出，在x^* = 1000 mm以后，M1模态已完全呈现出剪切模态特征。表1给出了Qi等^[28]通过DNS计算的腰部流向涡区域不同站位处的主导频率，结合图11中通过e^N方法计算的最不稳定频率，可以发现，在x^* = 800 、1 000 mm处，e^N方法预测的主导频率和DNS计算结果接近，可以合理推测DNS计算的两个站位处均为Mack模态失稳。而x^* = 1200 mm处的DNS结果与e^N方法预测的主导频率差别较大，但与O3模态接近，表明DNS计算中在该站位处可能由O3模态主导。因此，升力体腰部非对称流向涡在上游主要由Mack模态主导，可能在噪声环境下引起转捩。随着向下游发展，流向涡卷曲逐渐增强，外模态占据主导地位，转捩位置处的最不稳定模态为O3模态，频率为33.8 kHz，此时的N值约为7.0，可能在静声环境下引起转捩。

图  11  不稳定模态在最不稳定频率下的N值曲线

Figure  11.  N-factors of unstable modes at their most unstable frequencies

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图  12  频率为39.3 kHz的M1模态在不同站位处的温度扰动形函数

Figure  12.  Temperature disturbance shape functions along x^* for M1 mode with frequency of 39.3 kHz

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表  1  DNS获得的HyTRV腰部流向涡主导频率^[28]

Table  1.  The dominant frequencies of streamwise vortices at the waist of HyTRV obtained by DNS

	站位$x^*$/ mm
	510	800	1000	1200
主导频率/kHz	56	51	40	34 ～ 53

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3.   结　论

本文通过BiGlobal方法研究了HyTRV腰部非对称流向涡的稳定性，并通过e^N方法计算得到了不稳定模态的N值。得到以下主要结论：

1） 升力体腰部非对称流向涡上游存在主Mack模态与高阶Mack模态，后者展向波数更大。流向涡下游的剪切模态可以分为内模态与外模态，内模态形函数主要分布在流向涡卷曲更强一侧的茎部，外模态形函数主要分布在流向涡卷曲更强一侧的肩部，部分外模态形函数还分布在流向涡的顶部。

2） 上游流向涡卷曲程度较弱时，边界层不稳定性主要由Mack模态主导，随流向涡边界层增厚，Mack模态峰值频率降低，N值逐渐增大，可以达到常规高速风洞中的转捩N值，因此 Mack 模态可能在噪声环境下引起转捩；下游流向涡卷曲较强时，边界层不稳定性主要由外模态主导，外模态N值较大，可能在静声环境下引起转捩。

本文采用的是线性稳定性分析方法，未考虑非线性及感受性过程，对流向涡的转捩过程认识还不够全面。得出的结论局限于本文工况，后续将拓宽研究的工况范围，以提高结论的普适性。