谱约束之下的矩阵逼近问题

在对一个线性系统进行观测或复原时,出于资料不全或对照资料进行核检等理由,曾提出过如下的数学问题: 根据对未知矩阵A的n~2个元素(?)_(ij)的观测(?)_(ij)以及理论或设计上对A的谱要求:A具有k个特征值λ_1,λ_2,……,λ_k及相应的特征向量X_1,X_2,……,X_k,如何对A作出某种意义下的最佳估计? 显然,据观测数据(?)_(ij)和先验的概率统计信息,可对A进行估计。设所得到的初步估计为(?)。但(?)未必能满足对A的谱要求,所以(?)未必是问题的解。因而我们考虑这样的一个问题:在所有满足谱约束的n阶方阵中,选取与(?)最“接近”的矩阵,以作为A的最佳估计。本文给出了A的最佳估计的存在性与唯一性,以及最佳估计的具体求法,最后用一个简单的算例来说明之。这里假定(?)已据现有的概率统计方法求得。